第 2 章 · 数据的表示与运算

整数用有限位表示（原码/反码/补码），实数用二进制逼近（IEEE 754）——决定第 3 章 ALU 与 C 的 unsigned/浮点陷阱。

2.1 进制与位权

一切进制都是位权展开：任意 R 进制数 d_n…d_1d_0 的值 = Σ d_i × R^i。

注意：二进制表示十进制小数不保证精确；但二进制↔十六进制是 2 的幂次换算，纯位分组、无损无舍入。

负数三种表示法（8 位 -5）：

表示	`-5` 的编码	正数区	零的表示	关键性质
原码	`1000 0101`	最高位是符号	`0000 0000` 和 `1000 0000` 两个零	人读直观，但加减法要判符号，硬件复杂
反码	`1111 1010`	按位取反	两个零	减法仍要处理「循环进位」，未根本解决
补码	`1111 1011`	反码+1	只有一个零	减法=加法，硬件只需加法器

补码是唯一正确解：

唯一零：原码/反码有 +0/-0 两零，浪费编码且比较要特判；补码零唯一，1000 0000 解放为 -128，8 位范围 -128~+127。
减法变加法：补码本质是模运算（模 2ⁿ），-x ≡ 2ⁿ-x (mod 2ⁿ)，A-B = A+(2ⁿ-B) 溢出位自然丢弃，硬件无需减法器。
符号位参与运算：补码最高位直接当数值位一起算，符号自动正确；原码/反码须单独处理符号。

对比：-x 补码 = 取反加一（反向 -(-x)=x 也成立）。机器捷径：从右往左找第一个 1，其左全取反、其右不动——-5 原码 0000 0101 → 左 0000 010 取反 1111 101，拼右 1 = 1111 1011。

求 -5 的补码（8 位）：
  +5 = 0000 0101
  取反 = 1111 1010
  加一 = 1111 1011   ← -5

定点数：小数点位置固定（整数是小数点在最右端的特例）。溢出必须检测，两条等价判据：

8 位补码加法溢出示例：
  +100  (0110 0100)
+ +50   (0011 0010)
= +150  (1001 0110)  ← 符号位变成 1，结果却是 +150 > 127，溢出！

注意：C 的 int 溢出是未定义行为（UB），编译器可做任何事；unsigned 溢出是明确定义的模 2ⁿ 回绕。别把「补码回绕」当「int 安全溢出」。

实数用科学计数法逼近：(-1)^s × 1.fraction × 2^(exponent - bias)。

精度	符号 s	指数 e	尾数 fraction	bias	范围量级
float	1 位	8 位	23 位	127	~10⁻³⁸ ~ 10³⁸
double	1 位	11 位	52 位	1023	~10⁻³⁰⁸ ~ 10³⁰⁸

规格化与隐藏位：规格化数尾数第一位恒为 1，不存，白赚 1 位精度。指数存偏置值（真值+bias），可按无符号整数直接比大小。
特殊值：指数全 0+尾数全 0 = ±0；指数全 1+尾数全 0 = ±∞；指数全 1+尾数非 0 = NaN。0.0/-0.0 编码不同但比较相等。
非规格化数（denormal）：指数全 0、尾数非 0 时隐藏位变 0，表示比最小规格化数更接近 0 的数——填平「突然下溢到 0」（gradual underflow）。
舍入：超出尾数精度的位按最近舍入（ties-to-even）丢弃。2.1 的 0.1 即被舍入成最近近似值。

0.1 (double) 的实际存储值 ≈ 0.1000000000000000055511151231257827...
所以 0.1 + 0.2 != 0.3  （结果是 0.30000000000000004）

对比：定点小数位固定，范围小但精度均匀、运算快（纯整数电路，第 3 章）；浮点用指数换巨大动态范围，但精度不均匀（数越大间隔越疏，有效位固定 24/53 位）。金融/计时等需精确十进制且无舍入的场景，用定点或十进制库，别用二进制浮点。

第 3 章：补码让 ALU 只靠加法器做减法；溢出标志 OF 正是 2.3 的 C_out ⊕ C_in。浮点加减 = 对阶→尾数运算→规格化→舍入四步，比整数加法慢得多。
C：float/double 对应 IEEE 754，int/unsigned 对应补码。(int)0.1 截断、浮点比较不能用 ==、1/0.0 得 inf、0.0/0.0 得 NaN，根源都在本章。
Java：int 溢出是明确定义的补码回绕（非 UB）；double 完全遵循 IEEE 754。
Python：int 是任意精度大整数（数组存位）不溢出、代价是慢；float 仍是 IEEE 754 double，0.1+0.2 问题照旧。